Activitate de învățare – numere complexe în formă algebrică

1. a) Determinați numărul complex z care verifică egalitatea $|z|-z=1-2i$ .

1.b) Calculați $(1 - i )z^2 -2\overline{z}$ , unde z este numărul obținut la a).

1.c) Scrieți numărul complex $\frac{\overline{z}-\frac{1}{2}}{z-\frac{1}{2}}$ sub formă algebrică, unde z este numărul complex obținut la a).

2. Fie $z_1,z_2,z_3$ numere complexe care au modulele egale și $z_1z_2z_3=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_2=1$ .
a) Arătați că $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ .

2.b) Arătați că $\overline{z_1z_2+z_2z_3+z_3z_2}=\frac{1}{z_1z_2}+\frac{1}{z_2z_3}+\frac{1}{z_3z_1}.$

2.c) Arătați că $z_1+z_2+z_3=1$ .

3. Fie numărul real m și ecuația $x^2-mx+1=0$ .
a) Determinați numerele reale m astfel încât ecuația să aibă radăcini complexe nereale.

3. b) Arătați că dacă $m\in (-2,2)$ , atunci rădăcinile ecuației au ambele modulul 1.

3.c) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care suma modulelor rădăcinilor ecuației date este 2.